一道关于复数的数学题
（(z-1)/z）的五次方=1，请证明它所有的根可以写成 1/2（1+icot(kπ/5)） k=1,2,3,4
( z - 1 )^5 = z^5
令 z = 1/2 + bi/2，则 (bi/2 - 1/2 )^5 = ( bi/2 + 1/2 )^5
( bi - 1 )^5 = ( bi + 1 )^5
-5(bi)^4 - 10(bi)^2 - 1 = 5(bi)^4 + 10(bi)^2 + 1
5(bi)^4 + 10(bi)^2 + 1 = 0
5b^4 - 10b^2 + 1 = 0；解得 b^2 = 1 + 2√5/5 ①，或 b^2 = 1 - 2√5/5 ②；
由①，b = √( 1 + 2√5/5 ) = cot(π/5) 或 b = -√( 1 + 2√5/5 ) = cot(4π/5) ；
由②，b = √( 1 - 2√5/5 ) = cot(2π/5) 或 b = -√( 1 - 2√5/5 ) = cot(3π/5) ；
即 方程的根可以写成 1/2（1+icot(kπ/5)） k=1,2,3,4 。证毕。
[(z-1)/z]^5=1
[(z-1)/z]^5=cos(2πk)+isin(2πk)
(z-1)/z=cos(0.4πk)+isin(0.4πk)
其中k=0，1，2，3，4。
z-1=[cos(0.4πk)+isin(0.4πk)]z
[1-cos(0.4πk)-isin(0.4πk)]z=1
2sin(0.2πk)[sin(0.2πk-icos(0.2πk)]z=1
∵(sinθ-icosθ)(sinθ+icosθ)=sin²θ+cos²θ
当sin(0.2πk)≠0时，k≠0。
z=[sin(0.2πk+icos(0.2πk)]/[2sin(0.2πk)]
∴z=0.5[1+icot(0.2πk)]，k=1，2，3，4。