设平面图形D由曲线y=x2与直线x=1和x轴围成，求平面图形D的面积
设平面图形 D 由曲线 y = x2 与直线 x = 1和 x 轴围成，求 （1） 平面图形 D 的面积； （2）由平面图形 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积。
曲线 与 x 轴交点为 ( 0，0 )；与直线 x =1 交点为 ( 1，1 )；
1、面积 S = ∫( 0，1 ) x^2 dx = [ x^3/3 ]( 0，1 ) = 1/3；
2、下图。两条蓝线所围的横截面，绕 x 轴旋转一周，是一个圆环；
圆环宽度为 1 - x，半径为 y，厚度为 dy；
圆环体积 dv = 宽度 * 周长 * 厚度 =( 1 - x ) * 2πy * dy = 2π( y - y√y )dy
旋转体可看作由圆环套叠而成，y 的取值区间为 ( 0，1 )；
旋转体体积 V = 2π∫( 0，1 ) [ y - y^(3/2) ] dy
= 2π[ y^2/2 - (2/5)y^(5/2) ]( 0，1 )
= 2π[ 1/2 - 2/5 ]
= π/5 。
确定积分区间，直接套公式。
【1】
在x的方向进行积分，积分区间(0，1)。
S(x)=∫ydx=∫x²dx=x³/3+c
面积=S(1)-S(0)=1/3
【2】旋转体
在x的方向进行积分，积分区间(0，1)。
V(x)=∫πy²dx=π∫x^4dx=(π/5)x^5+c
体积=V(1)-V(0)=π/5
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