求与两点p1(3,-2,9),p2(-6,0,-4)距离相等的平面方程 - 爱问答

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求与两点p1(3,-2,9),p2(-6,0,-4)距离相等的平面方程

解: x=(3-6)/2=-3/2

       y=(-2+0)/2=-1

       z=(9-4)/2=5/2

      所以:P₁P₂的中点 A(-3/2. -1, 5/2)

      P₁P₂方程:(x-3)/(-6-3)=(y+2)/(0+2)=(z-9)/(-4-9)

                        (x-3)/-9=(y+2)/2=(z+9)/-13

     所以:平面的法向量是(-9,2,-13)

     所以:所求的两面是:-9(x+3/2)+2(y+1)-13(z-5/2)=0

     整理:                       -9x+2y-13z-27/2+2+65/2=0

                                        9x-2y+13-21=0,   #

平面π与两个不同点P₁、P₂的距离相等,就是指平面π为连接P₁、P₂两点的线段的垂直平分面。

设平面的一般方程为Ax+By+Cz+D=0,点P(x0,y0,z0)到平面的距离公式

d=|Ax0+By0+Cz0+D|/√(A²+B²+C²)。

所以,可以得到

|3A-2B+9C+D|=|-6A-4C+D|

显然,过P₁、P₂两点的直线的方向向量与平面π的法向量平行,故可取法向量为(A、B、C)=(-9,2,-13),代入上式,解得D=22。

所以,所求平面方程为

-9x+2y-13z+22=0


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