求与两点p1(3,-2,9),p2(-6,0,-4)距离相等的平面方程
解: x=(3-6)/2=-3/2
y=(-2+0)/2=-1
z=(9-4)/2=5/2
所以:P₁P₂的中点 A(-3/2. -1, 5/2)
P₁P₂方程:(x-3)/(-6-3)=(y+2)/(0+2)=(z-9)/(-4-9)
(x-3)/-9=(y+2)/2=(z+9)/-13
所以:平面的法向量是(-9,2,-13)
所以:所求的两面是:-9(x+3/2)+2(y+1)-13(z-5/2)=0
整理: -9x+2y-13z-27/2+2+65/2=0
9x-2y+13-21=0, #
平面π与两个不同点P₁、P₂的距离相等,就是指平面π为连接P₁、P₂两点的线段的垂直平分面。
设平面的一般方程为Ax+By+Cz+D=0,点P(x0,y0,z0)到平面的距离公式为
d=|Ax0+By0+Cz0+D|/√(A²+B²+C²)。
所以,可以得到
|3A-2B+9C+D|=|-6A-4C+D|
显然,过P₁、P₂两点的直线的方向向量与平面π的法向量平行,故可取法向量为(A、B、C)=(-9,2,-13),代入上式,解得D=22。
所以,所求平面方程为
-9x+2y-13z+22=0
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