方程Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0表示什么图形? - 爱问答

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方程Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0表示什么图形?

方程Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0所表示的曲线长什么样?所有况?

Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0是二次曲线的一般方程,至于具体表示什么曲线,与其各个系数取值及相互关系有关,可能是椭圆,抛物线,双曲线,等等。

这个可看看二次曲线的一般理论。


f(x,y)=ax²+bxy+cy²+dx+ey+f

二元二次方程f(x,y)=0

若不存在实数解,则不存在图形;

若存在实数解,则存在图形。

图形称为圆锥曲线。

【1】圆、椭圆。可能只有一个点。

【2】抛物线。

【3】双曲线。

若f(x,y)能够分解成两个一次式的积,

图形是两条直线(可能重合为一条)。


根据参数的不同,分别表示各种圆锥曲线甚至可能没有轨迹。有轨迹时,有可能是一个点;一条直线;两条平行直线或相交直线。我们感兴趣的曲线只有四种:圆,椭圆,抛物线,双曲线。


 

方程Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0通过合理地建立坐标系,都可以化为5楼的9种曲线,方程如下:
1.x²/a²+y²/b²=1,椭圆。
2.x²/a²+y²/b²=-1,虚椭圆。
3.x²/a²-y²/b²=1,双曲线。
4.x²/a²+y²/b²=0,点或两相交于实点的共轭虚直线。
5.x²/a²-y²/b²=0,两相交直线。
6.y²=2px,抛物线。
7.y²=a²,两平行直线。
8.y²=-a²,两平行共轭虚直线。
9.y²=0,两重合直线。

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