高等数学极限
1、用洛必达法则
原式 = lim x→0 { 2/[ cos(2x) ]^2 } / [ 3cos(3x) ] = 2/3；
2、用重要极限
原式 = lim x→1 [ sin( x-1)/( x-1) ] * 1/( x+1 ) = 1 * 1/2 = 1/2；
3、用重要极限
原式 = lim x→∞ [ ( 1 + 1/x )^x ]/( 1 + 1/x ) = e/1 = e；
4、用重要极限
原式 = lim x→∞ [ ( x- 1 )/( x - 1 ) + 2/( x - 1 ) ]^x
= lim u→∞ { 1 + 1/[ ( x - 1 )/2 ] }^{ [ ( x - 1 )/2 ] * 2 + 1 }
= lim u→∞ { { 1 + 1/[ ( x - 1 )/2 ] }^[ ( x - 1 )/2 ] }^2 * { 1 + 1/[ ( x - 1 )/2 ] }
= {e^2} * 1 = e^2
5、原式 < lim n→∞ { 1/√( n^2 + 1 ) + 1/√( n^2 + 1 ) + …… + 1/√( n^2 + 1 ) }
= lim n→∞ n/√( n^2 + 1 )
= lim n→∞ 1/√( 1 + 1/n^2 )
= 1；
原式 > lim n→∞ { 1/√( n^2 + n ) + 1/√( n^2 + n ) + …… + 1/√( n^2 + n ) }
= lim n→∞ n/√( n^2 + n )
= lim n→∞ 1/√( 1 + 1/n )
= 1；
由夹逼准则，原式 = 1 。
【1】x→0
lim[tan(2x)/sin(3x)]
=(2/3)lim[tan(2x)/(2x)]lim[3x/sin(3x)]=2/3
【2】x→1，y=x-1→0
lim{[sin(x-1)]/(x²-1)}=lim{(siny)/[y(y+2)]}
=lim[(siny)/y]lim[1/(y+2)]=1/2
【3】x→∞，
lim[(1+x)/x]^(x-1)=lim{[(1+1/x)^x]/(1+1/x)}=e
【4】[(x+1)/(x-1)]^x=[1+2/(x-1)]^x
=[1+2/(x-1)]*[1+2/(x-1)]^[2*(x-1)/2]
x→∞，y=(x-1)/2→∞
lim[(x+1)/(x-1)]^x=lim{(1+1/y)*[(1+1/y)^y]}²=e²
【5】∵1/√(n²+0)<1/√(n²+i)<1/√(n²+n)
∴1=n/√n²>A>n/√(n²+n)=1/√(1+1/n)
∵n→∞，lim(n/√n²)=lim[n/√(n²+n)=1
∴n→∞，limA=1