问一个关于数学二次函数的问题
已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（-5，0），B（-1，0）两点，与y轴交于点C（0，5）直线AC与抛物线的对称轴交于点
H。
（1）求该抛物线的解析式.
（2）在直线AC下方的抛物线上，是否存在一点P，连接AP，CP，使得△ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标，以及△ACD面积的最大值；若不存在，请说明理由.若连接PH，是否存在点P使得PH把△PAC分成面积相等的两部分，请说明理由。
（3）设m是抛物线上的一动点，N是x轴上一动点，是否存在点M，使以A，M，H，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。
(1) x = 0，y = c = 5；
x = -1，y = 1 - b + 5 = 0，b = 6；
解析式 y = x^2 + 6x + 5 = ( x + 3 )^2 - 4，对称轴 x = -3；
(2) ① 直线AC过点（-5，0）和（0，5），y = x + 5，交点H ( -3，2 )，见下图；
设点P ( x1，y1 )，y1 = x1^2 + 6x1 + 5，
则直线CP y = ( 5 - y1 )x/(-x1) + 5 = ( x1^2 + 6x1 )x / x1 + 5 = ( x1 + 6 )x + 5；
点D ( x1 + 6 )x + 5 = 0，x = -5/( x1 + 6 )；
线段AD = 5 - 5/( x1 + 6 ) = 5( x1 + 5 ) / ( x1 + 6 )；
S△ACD = 5AD/2 = 25( x1 + 5 ) / [ 2( x1 + 6 ) ]；
S△APD = -y1AD/2 = -5( x1^2 + 6x1 + 5 )( x1 + 5 ) / [ 2( x1 + 6 ) ]；
S△ACP = S△APD + S△ACD
= -5( x1 + 5 )( x1^2 + 6x1 )/ [ 2( x1 + 6 ) ] = -(5/2) x1( x1 + 5 )
= -2.5[ x1^2 + 5x1 + 2.5^2 ] + 2.5^3
= -2.5( x1 + 2.5 )^2 + 2.5^3
所以，当 x1 = -2.5 时，S△ACP 有最大值 2.5^3 = 15.625；
点P y1 = x1^2 + 6x1 + 5 = 6.25 - 15 + 5 = -3.75，坐标 ( -2.5，-3.75 ) 。
② 先选择绿线点P，坐标 ( x，2 )。
y = x^2 + 6x + 5 = 2，x^2 + 6x + 3 = 0，解得：
x = √6 - 3，HP = √6 - 3 + 3 = √6；
S△HPC = 3HP/2，S△HPA = 2HP/2，S△HPC - S△HPA = HP/2 = √6/2 。
若将点P上移至 y1，粉线P处。
x^2 + 6x + 5 = y1，x^2 + 6x + 9 = y1 + 4，解得：x = √( y1 + 4 ) - 3；
S△HPC = 3HP/2 - ( y1 - 2 )HP/2 = 5HP/2 - y1HP/2；
直线 粉PA ( x + 5 ) / [ √( y1 + 4 ) + 2 ] = y/y1，
在点E， ( x + 5 ) / [ √( y1 + 4 ) + 2 ] = 2/y1，
x + 5 = [ 2√( y1 + 4 ) + 4 ] / y1，x = [ 2√( y1 + 4 ) + 4 ] / y1 - 5；
EP = √6 - 3 - [ 2√( y1 + 4 ) + 4 ] / y1 + 5 = √6 + 2 - [ 2√( y1 + 4 ) + 4 ] / y1；
S△HPA = 2HP/2 - 2EP/2 + ( y1 - 2 )HE/2
= HP - EP + ( y1/2 - 1 )( HP - EP )
= y1( HP - EP )/2；
面积差 d = S△HPC - S△HPA = 5HP/2 - y1HP/2 - y1HP/2 + y1EP/2
= 5HP/2 - y1HP + √6y1/2 + y1 - √( y1 + 4 ) - 2
= 5√6/2 - 2 - √6y1/2 + y1 - √( y1 + 4 )；
d 单调降，只有 y1 = 5，S△HPC、S△HPA 为 0，才有 d = 0；
因此不存在点P，使得PH把△PAC分成面积相等的两部分 。
(3) 见上图，AMHN可以为平行四边形。
y = (x2)^2 + 6x2 + 5 = -2， (x2)^2 + 6x2 + 9 = 2，( x2 + 3 )^2 = 2，
x2 = -√2 - 3；
点M 坐标 ( -√2 - 3，-2 ) 。