如果点A,B分别到L的距离为2、6,A,B的水平距离为6,点P为直线L上的一个动点
如果点A,B分别到L的距离为2、6,A,B的水平距离为6,点P为直线L上的一个动点,PA PB的最短距离为
两点与直线L都是相对位置,故可以用特殊值简化计算。
设 A( 0,0 ),B( 6,0 ),直线 Ax - y + C = 0;
点A到L的距离 |C|/√[ A^2 + (-1)^2 ) = |C|/√( A^2 + 1 ) = 2,C^2 = 4A^2 + 4;①
点B到L的距离 | 6A + C |/√[ A^2 + (-1)^2 ) = | 6A + C |/√( A^2 + 1 ) = 6,
36A^2 + 12AC + C^2 = 36A^2 + 36;②
②-①*9,36A^2 + 12AC - 8C^2 = 0,( 3A + 2C )( 3A - C ) = 0;
取 C = 3A带入①,9A^2 = 4A^2 + 4,取正值,A= 2/√5,;
直线L y = (2/√5)x + 6/√5;
点B到L作垂线,垂足为D,则垂线BD y = (-√5/2)x + c,带入B坐标,(-√5/2) * 6 + c = 0,c = 3√5;
在点D, (2/√5)x + 6/√5 = (-√5/2)x + 3√5,x = 2,y = (2/√5) * 2 + 6/√5 = 2√5;
点B关于L 的对称点 B' 的坐标,x0 = 2 * 2 - 6 = -2,y0 = 2 * 2√5 - 0 = 4√5;
作直线AB'交 L 于 P,则 PA + PB = PA + PB' = AB' 是直线,故此时 PA + PB 距离最短。
最短距离 PA + PB = √AB' = √( x0^2 + y0^2 ) = √( 4 + 80 ) = 2√21 。