某航天器的一个零部件

更新时间：2022-03-19 20:40:46 94次访问

某航天器的一个零部件，该零件的底部为圆柱形，高为l米，底面半径为r米， 上部是半径为r米的半球形．按照设计要求该零件的体积为7π/3 立方米，假设该零 件的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米建造费用为3万元，半球形部分每平方米建造费用为4万元，则该零件的建造费用最小时，半径的值为

零件体积 = 圆柱体积 + 半球体积

即 7π/3 = πr^2 * L + 2πr^3/3

7/r^2 = 3L + 2r

L = ( 7/r^2 - 2r )/3；

零件费用 m = 3( 圆柱底面积 + 圆柱侧面积 ) + 4 * 球面积/2

即 m = 3πr^2 + 3 * 2πr * L + 4 * 4πr^2/2

= 3πr^2 + 2πr( 7/r^2 - 2r ) + 8πr^2

= 7π( r^2 + 2/r )

m' = 2r - 2/r^2 = 0，r^3 = 1，r = 1；

建造费用最小时，半径的值为 1 米。