在⊿ABC中,已知AB=AC,BD平分∠ABC,AD||BC.求证:∠BAC=2∠BDC.
过CD的中点E,作CD的垂直平分线,交BD于点F, 连CF
则三角形 CDF 等腰,CF=DF,∠FCD=∠FDC=∠2
已知,BD平分∠ABC
所以,∠ABD=∠CBD=∠1
已知,AD||BC,所以, ∠CBD=∠ADB=∠1(内错角)
所以,∠ABD=∠ADB, 所以, AB=AD (等腰三角形)
已知, AB=AC, 所以,AC=AD, 所以,三角形ACD等腰
所以,∠1+∠2=∠3+∠2,所以,∠1=∠3
对于 三角形 AOB 和 三角形COF
因为∠1=∠3,又∠AOB=∠COF,所以,三角形 AOB 和 三角形COF 为相似三角形
所以,∠BAC=∠4
因为,∠4是三角形 CDF的外角,所以, ∠4=∠FCD+∠FDC
又因,∠FCD=∠FDC=∠2
所以,∠4=2∠FDC
即,∠BAC=2∠BDC
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