在三角形ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,已知2acosB=c,且边BC上的中线长为4
在三角形ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,已知2acosB=c,且边BC上的中线长为4(1) 证明:A=B(2)求三角形ABC面积的最大值
C
E
A D B
作CD⊥AB于D
∵ CD⊥AB于D,∴ BCcosB=BD。
∵ 2BCcosB=AB,∴ BD=AB/2。
∴ D是AB的中点,∴ AC=BC,∴ A=B。
.
∵ AE=4是BC边上的中线,
∴ 当AE⊥BC时,∆ABC面积最大。
即∠B=60°。
AB=AE/sinB=4/[(√3)/2]=8/√3=BC
S(ABC)=AE*BC/2=4(8/√3)/2=16/√3
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