在如图所示的三角形ABC中,AC=BC,∠C=90°,点M、N分别是边AC和BC的中点,点D在射线B
在如图所示的三角形ABC中,AC=BC,∠C=90°,点M、N分别是边AC和BC的中点,点D在射线BM上,且BD=2BM,点E在射线NA上,且NE=2NA. 求证BD⊥DE.
作EF⊥AD于F。
∵ BD=2BM,
∴ M是BD的中点。
∵ M是AC的中点,
∴ ABCD是平行四边形。
∴ AD=BC,AD∥BC。
∴ ∠DBC=∠ADB,∠EAD=∠ANC。
∵ EF⊥AD,∴ ∠EFA=90°
∵ ∠C=90,∴ ∠EFA=∠C。
∵ NE=2NA,∴ EA=AN。
∴ ∆EFA≌∆ACN。∴ FA=CN。
∵ N是BC中点,∴ F是AD中点。
∴ ∠EDA=∠EAD。
∵ BC=AC,∴ CM=CN。
∴ ∆MBC≌∆NAC。∴ ∠MBC=∠NAC。
∴ ∠BDE=∠BDA+∠EDA=∠NAC+∠ANC=90°
∴ BD⊥ED
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