关于均值不等式

更新时间：2018-05-22 05:45:48 155次访问

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一正二定三相等我百度过它的含义，但没有理解透。请各位评判一下我下列说法对不对。
一正表示两个数都是正数，才能用a＋b≥2√(ab)建立联系。ab或a+b是定值，且a=b时，这不等式才能取等号求值对不对？
也就是说，二定要和三等同在，才能取等号？

是的。

一正和三等好理解，a、b必须全为正数，否则a＋b≥2√(ab)本身就不成立，取等号时，必须两者相等，变形下为(√a-√b)²≥0，因为任何非0数的平方都是大于0的，可知只有√a=√b，即a=b时，才会为0，也就是只有a=b时，a＋b=2√(ab)。

关键是二定，就是两数和为定值时，定值≥2√(ab)，ab≤新的定值，也就是积不能超过某个值，所以积有最大值，同理两数积为定值时，和有最小值。

做题时，不一定两个参数的和或积恰巧是定值，往往要对二个参数变形，才能确定定值，从而求出最值。

比如：总长度18米的栏杆，一面倚墙、三面用栏杆围成一个羊圈，求怎样围面积最大，设非墙对面的宽为x米，则面积为(18-2x)x平方米，也就是求(18-2x)x的最值，现在是积的形式，可知必须和为定值，积才有最值，且是最大值，直接用18-2x=x算出来的结果就是不对的，因为18-2x+x=18-x，含有未知数，不是定值，就需要变形，(18-2x)x=(18-2x)×2x/2，此时18-2x+2x=18才是定值，算下来x=4.5，最大面积是9×4.5=40.5平方米，而不是6×6=36平方米。

这种情况，不要被周长一定，正方形面积最大所误解，因为借用了墙，周长是不一定的。