在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax²+bx+1(a≠0)过点A(-1,0)B(1,1) - 爱问答

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在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax²+bx+1(a≠0)过点A(-1,0)B(1,1)

在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax²+bx+1(a≠0)过点A(-1,0)B(1,1),与y轴交于点C。

(1)求抛物线解析式。

(2)若点D在抛物线的对称轴上,当△ACD的周长最小时,求点D的坐标。

(3)在抛物线y=ax²+bx+1(a≠0)的对称轴上是否存在点P,使△ACP成为以AC为直角边的直角三角形?若存在,求出点P的坐标。若不存在,请说明理由。

①抛物线y=ax²+bx+1(a≠0)过点A(-1,0)B(1,1)

故:a-b+1=0,a+b+1=1

故:a=-1/2,b=1/2

抛物线解析式为:y=-1/2·x²+1/2·x+1=-1/2·(x-1/2)²+9/8


②抛物线对称轴x=1/2,C(0,1)

设A关于对称轴的对称点为E,则:E(2,0)

直线CE的解析式为:y=-1/2·x+1

直线CE与对称轴x=1/2的交点,即为△ACD周长最小时的D点

故:D(1/2,3/4)


③过C点作CF⊥AC,交x轴于点F,因为OA=1,OC=1

故:OF=1,即:F(1,0)

直线CF解析式为:y=-x+1

直线CF与对称轴x=1/2的交点,即一个P点。此时:P(1/2,1/2)


过A点作AM⊥AC,交y轴于点M,因为OA=1,OC=1

故:OM=1,即:M(0,-1)

直线AM解析式为:y=-x-1

直线AM与对称轴x=1/2的交点,即另一个P点。此时:P(1/2,-3/2)


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