在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax²+bx+1(a≠0)过点A(-1,0)B(1,1)
在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax²+bx+1(a≠0)过点A(-1,0)B(1,1),与y轴交于点C。
(1)求抛物线解析式。
(2)若点D在抛物线的对称轴上,当△ACD的周长最小时,求点D的坐标。
(3)在抛物线y=ax²+bx+1(a≠0)的对称轴上是否存在点P,使△ACP成为以AC为直角边的直角三角形?若存在,求出点P的坐标。若不存在,请说明理由。
①抛物线y=ax²+bx+1(a≠0)过点A(-1,0)B(1,1)
故:a-b+1=0,a+b+1=1
故:a=-1/2,b=1/2
抛物线解析式为:y=-1/2·x²+1/2·x+1=-1/2·(x-1/2)²+9/8
②抛物线对称轴x=1/2,C(0,1)
设A关于对称轴的对称点为E,则:E(2,0)
直线CE的解析式为:y=-1/2·x+1
直线CE与对称轴x=1/2的交点,即为△ACD周长最小时的D点
故:D(1/2,3/4)
③过C点作CF⊥AC,交x轴于点F,因为OA=1,OC=1
故:OF=1,即:F(1,0)
直线CF解析式为:y=-x+1
直线CF与对称轴x=1/2的交点,即一个P点。此时:P(1/2,1/2)
过A点作AM⊥AC,交y轴于点M,因为OA=1,OC=1
故:OM=1,即:M(0,-1)
直线AM解析式为:y=-x-1
直线AM与对称轴x=1/2的交点,即另一个P点。此时:P(1/2,-3/2)
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