给出图中题的解答

更新时间：2018-11-10 18:07:28 97次访问

要证的应该是f(x)=f(0)+(f(1)-f(0))*x，否则代入x=1，得到f(0)=0，不一定成立。下面的证明是在求证
f(x)=f(0)+(f(1)-f(0))*x
首先注意到由已知方程，f(x)=f(0)+(f(1)-f(0))*x对于所有整数x都成立
我们只需要考虑f(x)在[0,1]中的变化，其他区间内同理可知。
考虑f(x)在[0,1]上，
首先注意到f(1/2)=f(0)+(f(1)-f(0))*(1/2)
由此可以推出f(p/2^m)=f(0)+(f(1)-f(0))*(p/2^m)，对于任意的正整数m和1<=p<=2^m都成立。也就是说，我们要证明的公式对于集合K＝{p/2^m:1<=p<=2^m, m正整数}都成立。注意到K在[0,1]上是稠密的，所以对于任意的x属于[0,1]，我们可以找到两个K中的序列，分别单调增、单调减，且极限都为x。容易证明这两个序列在f的像下也是分别单调的（这里用到f是单调的），根据单调有界序列一定收敛，这两个序列都收敛，而且极限相等（极限相等用到f在M上可以表示为f(p/2^m)=f(0)+(f(1)-f(0))*(p/2^m)的形式）。
注意到在选取序列时，x被夹在两个序列之中，所以经过f的映射，根据f单调，f(x)也被夹在这两个序列在f的像之中。所以f(x)等于这两个序列的极限。容易验证这个极限等于
f(0)+(f(1)-f(0))*x，也就是说f(x)=f(0)+(f(1)-f(0))*x对于任意的实数x属于[0,1]都成立。同样地，该方程对于任意的x属于实数都成立。即f(x)=f(0)+(f(1)-f(0))*x为所求方程。