数学求极限
如图
是求x-->0时，[(1-tanx)/(1-sinx)]^(1/x³)的极限吗？是则解如下：
令 e^y=[(1-tanx)/(1-sinx)]^(1/x³)-->y=(1/x³)ln[(1-tanx)/(1-sinx)]
则 lim[x-->0]y=lim[x-->0](1/x³)ln[(1-tanx)/(1-sinx)]
=lim[x-->0][ln[(1-tanx)-ln(1-sinx)]/x³ （"0/0"型，用洛必达法则）
=lim[x-->0][-sec²x/(1-tanx)+cosx/(1-sinx)]/(3x²)
=lim[x-->0][secx/(sinx-cosx)+cosx/(1-sinx)]/(3x²) （"0/0"型）
=...
=1/2
故有 lim[x-->0][(1-tanx)/(1-sinx)]^(1/x³)=lim[x-->0]e^y
=e^limy=e^0.5
x→0
lim[(1-tanx)/(1-sinx)]^(1/x³)
=lime^ln[(1-tanx)/(1-sinx)]^(1/x³)]
=e^lim{[ln(1-tanx)-ln(1-sinx)]/x³}
【0/0型，用罗比塔法则】
=e^lim{[-sec²x/(1-tanx)+cosx/(1-sinx)]/(3x²)}
=e^lim{[-1/(cosx-sinx)+cos²x/(1-sinx)]/(3x²)}
=e^lim{[-1/(cosx-sinx)+(1+sinx)]/(3x²)}
=e^lim{-1+(1+sinx)(cosx-sinx)]/[3x²(cosx-sinx)]}
=e^lim[(-1+cosx-sinx+sinxcosx-sin²x)/(3x²)]【0/0型】
=e^lim[(-sinx-cosx+cos²x-sin²x-2sinxcosx)/(6x)]
=e^lim{[-sinx(1+2cosx)/(6x)]+[-cosx+cos(2x)]/(6x}}【第二式0/0型】
=e^lim{(1+2)/6+[sinx-2sin(2x)]/6}
=e^(1/2)
=√e
看不清楚是加号还是减号。
tanX=sinx/cosx，极限是无穷大。
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