用定义证明f（x）=x+4/x在（负无穷，-2）是增函数

更新时间：2019-01-24 11:02:53 218次访问

设x1,x2属于（-∞，-2），且x1>x2

f(x1)=x1+4/x1

f(x2)=x2+4/x2

f(x1)-f(x2)

=x1+4/x1-(x2+4/x2)

=x1+4/x1-x2-4/x2

=(x1-x2)+（4/x1-4/x2)

=(x1-x2)+4*((x2-x1)/(x1*x2)

=(x1-x2)*[1-4/(x1*x2)]

因为x1<-2,   x2<-2，且x1>x2

所以

x1-x2>0

x1*x2>(-2)*(-2)=4

4/(x1*x2)<1

1-4/(x1*x2)>0

所以

f(x1)>f(x2)

所以

f（x）=x+4/x在（负无穷，-2）是增函数

设x1,x2∈（-∞，-2），且x1＜x2＜-2

∴x1-x2＜0，x1·x2＞4

∴(x1·x2-4)/(x1·x2)＞0

f(x1)=x1+4/x1

f(x2)=x2+4/x2

f(x1)-f(x2)

=x1+4/x1-(x2+4/x2)

=x1+4/x1-x2-4/x2

=(x1-x2)+（4/x1-4/x2)

=(x1-x2)+4(x2-x1)/(x1·x2)

=(x1-x2)-4(x1-x2)/(x1·x2)

=(x1-x2)·[1-4/(x1·x2)]

=(x1-x2)·[(x1·x2-4)/(x1·x2)]＜0

即：f(x1)＜f(x2)

∴f（x）=x+4/x在（-∞，-2）是增函数

设a＜b＜-2。

f(a)-f(b)

=(a+4/a)-(b+4/b)

=(a-b)+4(b-a)/(ab)

=(a-b)(ab-4)/(ab)。

∵a-b＜0，ab-4＜0，ab＞0，

∴f(a)-f(b)＜0，f(a)＜f(b)。

所以f(x)是增函数。