八年级上册数学几何题
解：（1）∵ △ABC为等边，且 AD⊥BC
∴ △ABD是直角三角形，且：∠BAD=30º，
∴ BD=AB/2 即，AB=2BD ①
又 DE⊥AB,
∴ △BDE是直角三角形，且∠BDE=30º
∴ BE=BD/2 即 BD=2BE ②
∴ 由①②得， AB=2BD=4BE
∴ AB/BE=4
由分比定理： (AB-BE)/BE=(4-1)/1
∴ AE/BE=3
∴ 得证： AE=3BE
（2）以 B为原点，建立坐标系, 且设BP=x
则有： B(0,0), P(x,0）D(AB/2,0),
∵ AD=√(AB²-BD²)=√3·AB/2
∴ A(AB/2, √3·AB/2) ,F(AB/2, √3AB/4)
∵ 由（1）得证 AB=4BE
∴ BE=AB/4=(AB/2, √3AB/2)/4=(AB/8, √3AB/8)
∴ |PE|²=√[(x-AB/8)²+(0-√3AB/8)²]=x²-ABx/4+AB²/16
|PF|²=√[(x-AB/2)²+(0-√3AB/4)²]=x²-ABX+7AB²/16
∴ |PE|²+|PF|²=x²-5AB/8+AB²/2
=(x-5AB/16)²+AB²/2-25AB²/64
=(x-5AB/16)²+17AB²/64
∴ 当 x=5AB/16时，PE+PF最小=√17AB/8
（3）∵ 取最小值时，x=5AB/16 ，且AD=4√3, AD=√3AB/2
∴ 4√3=√3AB/2,
∴ AB=8 , x=5/2
∴ PE+PF最小=√17AB/8=√17
∴ BE=AB/4=2
∴ E(AB/8, √3AB/8)=(1,√3) ,F(AB/2, √3AB/4)=(4,2√3)，P(5/2, 0)
作 EG⊥BC，则 G(1,0)
∵ GP=5/2-1=3/2
所以，三角形PEF面积=S梯形-S△GPE-S△EPD
=(EG+FD)·GD/2-PG·GE/2-PD·FD/2
=(√3+2√3)·(3)/2-(3/2)(√3)/2-(3/2)(2√3)/2
=(9√3)/2-(3√3)/4-(6√3)/4
=(9√3)/2
第一题：先证明△ADE∽△ABD
所以AE/AD=AD/AB
所以AE=AD²/AB=6
所以BE=AB-AE=2
所以AE=6=3×2=3EB
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