证明sinπx≤π/2乘以x(1-x)，其中x∈【0，1】

更新时间：2019-02-16 14:41:01 236次访问

g(x) = xπ^2( 1 - x ) - sinxπ = uπ( 1 - u/π ) - sinu = uπ - u^2 - sinu；{ u = xπ，u∈[ 0，π ] }；

g'(u) = π - 2u - cosu = 0，u = π/2；

g''(u) = -2 + sinu < 0，故 g(u) 是凸函数，u = π/2 是 g(u) 最大点；

g(π/2) = π/2 * π - (π/2)^2 - sin(π/2) = π^2/2 - π^2/4 - 1 = π^2/4 - 1 > 0；

g(0) = 0 - 0 - 0 = 0；g(π) = π^2 - π^2 - sinπ = 0；

故 xπ^2( 1 - x ) - sinxπ ≥ 0，xπ^2( 1 - x ) ≥ sinxπ ；证毕 。