初三数学挑战题
如图,在边长为2的正方形ABCD中,G是AD延长线上一点,DG=AD,动点M从A点出发,以每秒1个单位的速度沿A→C→G的路线向G点匀速运动(M不与A、G重合),设运动时间为t秒,连BM并延长AG于N。
当点N在AD边上时,若BN⊥HN,HN交∠CDG的平分线于H,求证:BN=HN
请问能用几何的方法解这道题吗?我貌似用了比较复杂的方法,设了未知数,用了相似,先表示出AN,然后我再作HQ⊥DG,算出HQ的表达式与AN相同,然后△BAN≌△NHQ证的。请问还有别的方法吗,或说我这种方法可行吗?
如图:做BE=ND……①
∵ ∠HND+∠BNA=180°-90°=∠NBE+∠BNA
∴ ∠HND=∠NBE(2蓝角相等)……②
AE+BE=AN+ND
AE=AN
∠NEA=∠HDG=45°
∠BEN=∠HDN=135°(2红角相等)……③
由①②③得:
△BEN ≌ △NDH
BN=NH
首先恭喜你,你的证法是完全可行的。
更简单的证明方法:
以AN为直角边向上作等腰直角三角形ANP
所以BP=ND(等式性质)
∠BPN=∠NDH=135°
通过外角性质可以导出∠PBN=∠DNH
所以△BPN≌△NDH
所以BN=HN
擦去无关的线段后,会是题目更加容易理解
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