偏导为0,极值不存在的情况
最好有图示
关于极值问题,一元函数与多元函数有类似的性质,即一般只有必要条件与充分条件,似乎不存在严格意义下的充分必要条件。
极值存在的必要条件:一元函数为一阶导数为0,多元函数为一阶偏导数为0。但不是充分条件,即一阶导数为0时不一定取得极值,如y=x³,y'=3x²=0,得驻点x=0,但x=0不是极值点。如z=xy,有∂z/∂x=y=0,∂z/∂y=x=0,得驻点(0,0),但不是极值点。
极值存在的充分条件:一元函数由二阶导数判别,如y=x²,y'=2x=0,驻点为x=0,而y''(0)=2>0,所以x=0为极小值点;如y=-x²,y'=-2x=0,驻点为x=0,而y''(0)=-2<0,所以x=0为极大值点。注意,若y''=0,则无法判别,需要用一阶导数的左右是否变号进行判别。
二元函数z=z(x,y)由两个二阶偏导数用一个二阶混合偏导数判别。如z=xy,A=∂²z/∂x²=0,C=∂²z/∂y²=0,B=∂²z/∂x∂y=1,因为B²-AC=1>0,所以(0,0)不是极值点。
若B²-AC<0,且A<0时为极大值,A>0时为极小值。若B²-AC=0,则无法判别,需要用其他方法。
答案:这是很正常的事情,例如y=x^4,偏导为0,但是极值不存在。极值问题,除了偏导之外,还要再看高阶导数的情况才能决定。
不取得极值的了
z=xy,在原点,俩偏导数都等于零,但在原点不取得极值。
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