高等数学应用题
设箱子长 x，宽 y，则高为 324/xy；
材料价 z = 3xy + 2x * 324/xy + 2y * 324/xy = 3( xy + 216/y + 216/x )；①
∂z/∂x = y - 216/x^2 = 0，x^2y = 216；
∂z/∂y = x - 216/y^2 = 0，xy^2 = 216；
x^2y = xy^2，x = y；
A = ∂²z/∂x² = 432/x^3；C = ∂²z/∂y² = 432/y^3 = 432/x^3；B = ∂²z/∂xy = 1；
B^2 - AC = 1 - (432/x^3)^2 < 0，432/x^3 > 1，x < 432^(1/3) = 7.56；
即 x = y < 7.56 时，A > 0，C > 0，z 有最小值 。
将 x = y 代入 ①，z = x^2 + 432/x，z' = 2x - 432/x^2 = 0，x^3 = 216，x = 6；
h = 324/6^2 = 9；
箱子长 6m、宽 6m，高 9m 时，造价最低 。
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