离散数学概念问题(FromCoursera)
选择正确选项
1.最大元一定是极大元
2.对任意偏序集,一定存在最大元或最小元
3.若存在最小元,则必是唯一的
4.对一个线性序而言,该序上的极小元也是最小元
1、最大元一定是极大元,但极大元不一定是最大元。这个类似于极值与最值的关系,即最大值一定是极大值,但极大值不一定是最大值。如集合A={2,3,6,12,24,36},定义整除关系|,则(A,|)为偏序集,其中2,3为极小元,24,36为极大元,但无最小元,也无最大元。从这个例子看,极小元和极大元不唯一,但后面3中所说的最小元或最大元若存在则一定是唯一的。
2、由于所给的偏序集任意,所以不一定存在最大元或最小元。如(N,≤)存在最小元0,但不存在最大元。(R,≤)的最大元与最小元均不存在。
3、若一个偏序集存在最小元,则一定是唯一的。若b₁,b₂均为最小元,则由最小元的定义有b₁≤b₂∧b₂≤b₁,则必有b₁=b₂。
4、线性序也称为全序,如(R,≤)就是全序集。当然,全序集一定是偏序集,但偏序集不一定是全序集。对一个全序集,若极小元存在,则也一定为最小元。也就是说,全序集的极小元是唯一的。
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