已知abc均为正数,切a²+b²+c²=1,求a(a+b+c)的最大值
2018年清华自主招生试题,,跪求!!!
y = a( a + b + c ) = a^2 + ab + ac = 1 + ( ab - b^2 ) + ( ac - c^2 ) = 1 + z1 + z2;
z1 = ab - b^2 = -[ b^2 - ab + (a/2)^2 ] + a^2/4 = -( b - a/2 ) + a^2/4;
即 b = a/2 时,z1 有最大值 a^2/4;
同样,c = a/2 时,z2 有最大值 a^2/4;
y 最大时,a^2 + b^2 + c^2 = a^2 + a^2/4 + a^2/4 = 1,a^2 = 2/3;
ymax = 1 + z1 + z2 = 1 + a^2/2 = 1 + (2/3)/2 = 4/3;
a(a+b+c)的最大值是 4/3 。
据题设→S=a【a+b+c]=a²+ab+ac=[1-(b²+c²)]+ab+ac=1+[b(a-b)+c(a-c)]→当a>b,a>c→S可取大于1的值,比如a=2b=2c时S=1+1/3。
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