2019年宁夏中卫市中考数学最后一题解答过程
(1)证明：由已知可得 ∠BQM=∠BAC=90°， 又∠B=∠B, 所以 ∆QBM∽∆ABC
(2)解：由已知，∠A=90°，AB=3, AC=4,立得 BC=5 (勾股定理）
只要能求出BQ的长度,使得 MN=BQ, ，则MN与BQ平行且相等，四边形BMNQ就是平行四边形了，设 BQ=x,由（1） ∆QBM∽∆ABC， 于是BM:BC=BQ:BA, 即 BM:5=x:3, 所以BM=5x/3
AM=AM-BM=3-5x/3=(9-5x)/3
由 MN∥BC, 所以 MN:BC=AM:AB, 即 MN:5=(9-5x)/3:3, 所以MN=5（9-5x）/9
要 MN=BQ,即 5（9-5x）/9=x, 解得 x=45/34, 所以存在点Q， BQ=45/34时， MN与BQ平行且相等， 四边形BMNQ为平行四边形
(3) 由（1） ∆QBM∽∆ABC, 还设 BQ=x, 则 MQ:BQ= AC:AB即 MQ:x=4:3, 所以MQ=4x/3, 三角形 QBM的面积=BQ*MQ/2=(x*4x/ 3)/2=2x²/3
又 由（2） MN=5(9-5x)/9,
所以 三角形QMN的面积=MQ*MN/2=(4x/3)*[5(9-5x)/9]/2=10(9x-5x²)/27
所以四边形 BMNQ的面积=三角形 QBM的面积+三角形QMN的面积
=2x²/3+10(9x-5x²)/27=（-2/27）（16x²-45x)
这是一个二次项系数为负的二次函数，
所以 x=45/32时，由公式法算得函数有最大值=75/32 （中间一些繁琐的数字计算此处略）
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