大一数学多项式
多项式f(x)和g(x)的一个非最大公因式ψ(x)是否可以写成“ψ(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)”的形式?
当然可以!证明是很简单的
证明: 因为由已知的定理,d(x)是f(x)和g(x)的最大公因式的充要条件就是存在多项式u(x)和v(x)使得 d(x)=U(x)f(x)+V(x)g(x) 成立
而 ψ(x)是多项式f(x)和g(x)的一个非最大公因式,则它一定能被 d(x) 整除,即必有多项式φ(x),使得ψ(x)=d(x)φ(x)成立,所以
ψ(x)=d(x)φ(x)=[U(x)f(x)+V(x)g(x) ]φ(x)=U(x)φ(x)f(x)+V(x)φ(x)g(x) 成立
即有多项式 u(x)=U(x)φ(x), v(x)=V(x)φ(x) 存在,使得 ψ(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x) 成立
若f(x)和g(x)都不为零,则由定理可知,命题成立.若f(x)和g(x)中有一个为零,比如f(x)=0,则(f(x),g(x))=f(x),此时,d(x)=f(x)=1•f(x)+v(x)•g(x),其中v(x)可以是任意的多项式故判断为错.
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