把2021分拆成若干个自然数,那么这些自然数的成绩最大是多少?
由均值不等式的推论,分拆的各自然数相等时,这些自然数的乘积最大。
2021 = 43 * 47;
43^47 = 5.92949e+76;
47^43 = 7.947e+71;
故将2021分成47个自然数,每个自然数都是43时,乘积最大,为 5.92949e+76 。
【分法】2021=3×673+2
【积】2×3^673=2.533*10^321
是322位正整数
【附】
定理:任意正整数n,有3ⁿ≥n³成立。
定理:把正整数n分成若干个3,
若余1,减少一个3,合并成4。
那么分成的数的积最大。
假设成若n个自然数
算术平均数不小于几何平均数
(∏ai)^(1/n)≤(1/n)∑ai
(∏ai)≤{(1/n)∑ai}^(n)=(2021/n)^n
求f(x)=(2021/x)^x极值问题
lnf(x)=ln{(2021/x)^x}=xln{(2021/x)}
f'(x)/f(x)=ln{(2021/x)}-1=0
2021/x=e时取得最大值,由于是自然数应按最接近e的数3来分
2021/3=673...2
得到最大值为(3)^671*4^2
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